Un jeu pour smartphone

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Dans un jeu gratuit pour smartphone, lorsqu’une ressource utile au jeu est épuisée, on peut soit payer 1 € pour obtenir immédiatement un renouvellement de la ressource, soit attendre 24 heures pour en disposer à nouveau.
On sait que \(3\) joueurs sur \(10\) préfèrent payer et obtenir la ressource immédiatement pour continuer à jouer.
La question 3. est indépendante des questions 1. et 2.

1. On observe successivement \(3\) joueurs choisis au hasard et l’on note s’ils paient ou non pour obtenir le renouvellement de la ressource lorsqu’ils l’ont épuisée.
On note \(\text{R}\) l’événement « le joueur observé paie pour obtenir la ressource immédiatement » et \(\overline{\text{R}}\) l’événement contraire.
On modélise cette expérience par la répétition de trois épreuves aléatoires identiques et  indépendantes de Bernoulli.
    a. Représenter cette expérience aléatoire par un arbre de probabilités.
    b. Justifier que la probabilité que les \(3\) joueurs choisis au hasard paient pour obtenir la ressource immédiatement est égale à \(0{,}027\).
    c. Justifier que la probabilité qu’un seul des \(3\) joueurs choisis au hasard paie pour obtenir la ressource immédiatement est égale à \(0{,}441\).

2. On note \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque observation de \(3\) joueurs le nombre de joueurs ayant payé pour obtenir la ressource immédiatement.
Recopier et compléter le tableau suivant qui donne la loi de probabilité de \(X\).
On écrira le détail des deux calculs effectués.
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|} \hline a&~~0~~&1&~~2~~&3 \\ \hline P(X=a)& &0{,}441& &0{,}027\\ \hline \end{array}\end{align*}\)

3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.